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Je trouve positif
que les mathématiciens de l'Académie
aient pris au sérieux la demande du
Ministre, et se soient " penchés " sur
l'enseignement des mathématiques à
l'école élémentaire. J'ai
connu dans le passé, notamment dans des
réunions organisées par la
Société Mathématique de
France, des réactions franchement
condescendantes de certains mathématiciens
à l'égard d'une telle question,
subalterne à leurs yeux. Il est bien, donc,
de la part de savants de haut niveau d'avoir
répondu à cette demande. Aussi les
remarques qui suivent sont-elles écrites
pour avancer un peu dans la réflexion,
même si elles sont aussi critiques à
l'égard de certaines idées contenues
dans l'avis de l'Académie.
1- Ma première
remarque
est que la question de l'orientation de
l'enseignement n'est pas bien posée avec la
question du calcul, si importante soit-elle ; pas
davantage que les mathématiques
elles-mêmes ne peuvent être
pensées d'abord en termes de calcul, mais
plutôt en termes de conceptualisation et de
raisonnement.
En outre la
question de l'enseignement passe par celle de
l'apprentissage, puisque ce sont les
difficultés d'apprentissage des
élèves qui sont les points de
résistance de l'action de l'enseignant.
A moins de considérer que les enfants sont
une pâte aisément malléable,
l'apprentissage ne résulte pas de
manière simple de l'enseignement ; l'action
réciproque existe également puisque
l'enseignant agit sous des contraintes qui ne sont
pas seulement institutionnelles, celles du ministre
et des programmes, mais aussi celles liées
aux difficultés qu'il rencontre dans son
action. Or les difficultés des
élèves sont d'abord des
difficultés de conceptualisation, lesquelles
concernent le calcul, mais pas
seulement.
L'avis de
l'Académie contient d'ailleurs plusieurs
idées que je trouve justes pour ma
part:
-ne
pas disjoindre l'étude des nombres de
celles des grandeurs ;
-rapprocher de
la géométrie la mesure des
grandeurs et leur représentation
;
-accorder
beaucoup d'importance à la
proportionnalité.
Mais il faut
en dire davantage que ce qui est dit dans l'avis,
faute de quoi on peut retomber dans cette
bétise épistémologique du
passé qui consiste à distinguer "
nombres concrets " et " nombres
abstraits ". L'idée de grandeur
déjà est abstraite, et si le concept
de nombre peut être détaché de
celui de mesure, c'est effectivement après
que sa fonction de mesure ait déjà
été passablement assimilée par
les élèves.
Or le concept de
mesure est d'abord rencontré et saisi, non
pas avec les grandeurs spatiales, mais avec la
mesure des quantités discrètes
(bonbons, allumettes, billes, pièces de
monnaie…) et le concept de cardinal. Il
n'est guère fait allusion au concept de
cardinal et à celui de quantité
discrète, dans l'avis de l'Académie,
alors que c'est pourtant un domaine premier et
essentiel de conceptualisation pour les
élèves du cycle 2, notamment du cours
préparatoire.
La
caractéristique principale de la mesure des
quantités discrètes, nouvelle dans le
développement des compétences
cognitives des enfants, est de permettre
l'addition. Une relation d'équivalence ou
une relation d'ordre ne fournissent pas à
elles seules une idée du concept de nombre,
et je trouve bien légère la reprise,
dans l'avis de l'Académie, des
billevesées concernant les
compétences prétendument
numériques des bébés. Ce sont
des billevesées parce que la perception par
les bébés d'une différence
entre deux quantités, voire d'une
inégalité, ne peut pas être
considérée comme une
conceptualisation du nombre. La reconnaissance de
la propriété d'addition est une
condition nécessaire. Les travaux sont
nombreux qui donnent un âge plus proche de
quatre ou cinq ans (dans le meilleur des cas et
sous certaines conditions) pour les
premières compétences proprement
numériques des enfants.
Un critère
décisif par exemple est la compétence
de l'enfant à rechercher le cardinal de
l'union de deux parties sans recompter le tout,
mais en opérant sur les nombres, notamment
en comptant en avant à partir du cardinal
d'une des parties autant de fois qu'il y a
d'éléments dans la seconde partie ;
pour la réunion d'un ensemble de quatre
jetons et d'un ensemble de trois jetons, partir de
quatre et compter cinq, six, sept. Bien entendu la
connaissance du fait numérique quatre plus
trois ça fait sept, représente
ensuite une économie importante. On peut
représenter cette nouvelle compétence
à opérer sur les nombres et non sur
les ensembles et les objets, par un
théorème-en-acte d'homomorphisme
(sous la condition que l'intersection soit vide,
évidemment) :
Card
(AUB) = Card (A) + Card (B)
On n'a jamais vu un
bébé avec cette compétence,
même pour de très petits
effectifs.
L'avis de
l'Académie insiste à juste titre sur
la nécessité de relier
numération et opérations, ce qui
signifie qu'on ne doit pas séparer le
concept des opérations qu'il permet. Il est
donc paradoxal qu'en même temps soit
avancée une vision du nombre liée
seulement à l'ordre et non à
l'addition, et en outre sans considération
pour la quantification des relations d'ordre (tant
de plus, tant de moins) qui permet justement
d'introduire des situations d'addition et de
soustraction, mais plus tard.
Qu'on m'entende
bien, je trouve positif que les collègues de
l'Académie s'intéressent aux
conceptions et aux pratiques " spontanées "
des jeunes enfants, y compris aux idées
d'ordre et d'équivalence, et au comptage sur
les doigts, mais ils ne doivent pas renoncer
pour autant à l'analyse scrupuleuse des
concepts en jeu et de leurs
propriétés.
2-Un deuxième
paradoxe, qui
pourrait même être une contradiction,
consiste à insister sur la
proportionnalité, y compris sur la
règle de trois et les fractions qui ne
peuvent guère être enseignées
avant le cycle 3, et même le cours moyen, et
à proposer en même temps
l'introduction de la multiplication et de la
division dès le cours préparatoire,
comme si ces deux opérations ne relevaient
pas de la proportionnalité.
La
proportionnalité ne concerne pas que la
recherche d'une quatrième proportionnelle,
mais la relation de linéarité
entre deux variables, discrètes ou
continues. Rares sont les situations de
multiplication et de division dans lesquelles il
n'y a pas deux variables proportionnelles, y
compris pour le partage de bonbons ou le coût
de gâteaux achetés pour un
anniversaire. Les propriétés
d'isomorphisme de la linéarité et le
coefficient de proportionnalité sont des
propriétés essentielles.
Il faut savoir,
mais nos Académiciens semblent ignorer ce
fait, que la règle de trois est
enseignée dans tous les pays du monde, soit
au collège soit à la fin de
l'école élémentaire mais que,
après quelques mois ou quelques
années, les élèves,
très majoritairement, lui
préfèrent des raisonnements "
spontanés " utilisant les
propriétés de
linéarité, pourtant non
enseignées en
général:
f (x+x')
= f(x) + f(x')
f(kx) =
kf(x)
f(kx + k'x') =
kf(x) + k'f(x')
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Il est
facile de vérifier ce fait et de
prendre conscience ainsi que les
connaissances des élèves
restent souvent implicites,
s'écartent éventuellement
des connaissances enseignées, mais
n'en sont pas moins
opératoires.
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J'ai
également été surpris par
la mention non discutée de la proportion "
inverse ", tenue pour aller de soi sans que soit
seulement évoquée l'idée de
fonction de deux variables. En effet, c'est
lorsqu'on a trois variables en jeu (l'une d'elles
étant proportionnelle à chacune des
deux autres de manière indépendante)
que, tenant constante la fonction, les deux autres
variables sont alors inversement proportionnelles.
Il faut reconnaître que les institutions
opposent une farouche résistance à la
considération des fonctions de plusieurs
variables, pourtant rencontrées dès
l'école élémentaire : l'aire
du rectangle en fonction de la largeur et de la
longueur, la consommation en fonction du nombre de
personnes et du temps par exemple, le coût
d'un achat en fonction du nombre d'objets
achetés et du prix unitaire.
3-Un dernier point
mérite d'être
interrogé,
celui des
représentations
graphiques.
Que la
géométrie des positions dans l'espace
soit avec celle des figures et celle des
transformations un domaine de conceptualisation
très utile et un enjeu très
important, j'applaudis des deux mains. Mais cette
question concerne toute la scolarité, y
compris le collège. Il faut arrêter de
penser que la visualisation d'un graphique, et
même de la droite numérique, rend
lisibles les relations numériques à
l'école élémentaire.
La
compréhension des graphiques demande un
travail didactique considérable, poursuivi
sur plusieurs années et jusqu'au
collège. Par exemple autant il est facile
aux enfants de saisir la signification de l'ordre
des points sur la droite, pour représenter
des dates de naissance ou des performances
d'athlètes au lancer de javelot par exemple,
autant il leur est difficile, jusqu'à la fin
de l'école élémentaire et un
peu au-delà, de penser comme un nombre la
distance entre deux points, en l'occurrence une
durée ou un écart entre
performances.
Conclusion
En
conclusion, un peu de réflexion
épistémologique sur la
conceptualisation mathématique ne serait pas
de trop dans la réflexion du Ministre et de
ses conseillers. Qu'on me comprenne bien ! Je
trouve positif que les Académiciens aient
répondu au Ministre. En outre plusieurs des
points qu'ils retiennent sont de bon sens, et
assortis d'une recommandation de
prudence.
Je trouve par
contre étrange que le Ministre
s'intéresse si peu à la didactique
des mathématiques et à la psychologie
des apprentissages mathématiques, qui ne
manquent ni de qualité scientifique en
France, ni de prudence.
Faire appel
à de grands savants pour obtenir d'eux un
avis n'est pas une démarche
déraisonnable, même s'ils n'ont pas
toutes les compétences qu'on leur
prête. Ils peuvent eux aussi être
victimes de naïvetés, plus dangereuses
qu'on ne le pense sans examen.
Personne d'ailleurs
n'est à l'abri des naïvetés.
Mais il est du devoir du Ministre de se tenir
informé et de renoncer au mépris dans
lequel il tient les didactiques, les sciences de
l'éducation, les IUFM, et même le
savoir d'expérience acquis par les
enseignants au cours de leur pratique.
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On
aperçoit chez le Ministre une
référence implicite au "
sens commun ", qui n'est pas absent non
plus de l'avis des Académiciens. Or
le sens commun est bel et bon, mais
radicalement insuffisant pour penser les
phénomènes complexes. Les
connaissances scientifiques se
construisent aussi contre le sens commun,
et pas seulement en s'appuyant sur
lui.
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