2°) - Una segunda modalidad   Alrededor de la cual se construyen estas representaciones es la de una vivencia de las matemáticas como «ley», como «conjunto de reglas». Pero con un sentido muy diferente según los grupos de profesores. Para unos las matemáticas son una ley que marca prohibiciones o que da permisos. Hablarán a propósito de ellas como de una «cubierta que les impide tener una vida afectiva normal» o aún que los «priva» de ciertas emociones, o por el contrario, de algo que los «autoriza» a dejarse ir a una cierta agresividad sin que de ello se desprendan consecuencias demasiado graves.  Para otro grupo de profesores las matemáticas también son una ley pero cuya función es la de «estructurar» el pensamiento; ellos hablarán de algo «serio», «coherente», «unificador», esto es lo que les ayuda a «razonar justamente». Estas diferencias entre profesores dejan claramente presagiar que las matemáticas no son enseñadas de la misma manera en todas las clases. Asi, lo que es importante para este grupo es «ayudar al alumno a estructurar su pensamiento para no sufrir el mundo que le rodea, por incomprensión» (¡hombre! ); «ayudar a adquirir a través de las matemáticas el gusto por el análisis, por la precisión del lenguaje y por la coherencia en el razonamiento».   Francisco <<-A mí me gusta enseñar y darle confianza a los alumnos, explicarles que ellos, sí pueden lograrlo. Y cuando veo a uno que se despierta, que se aferra, eso me gusta. Sobre todo cuando me digo que si yo lo hubiera brutalizado, nunca hubiera llegado a comprender; entonces allí tengo una verdadera satisfacción. Y también a mí me gusta mucho ese contacto con los alumnos por intermedio de las matemáticas. Es un poco como un juego, hay astucias, hay finuras: la relación está bien delimitada. No es como con los profesores de español que están muy a menudo en psicodrama, que desencadenan afectividades terribles en las clases.   Y luego, no es tan fácil salirse de eso. Para nosotros, es de todas maneras mucho más simple y eso no nos impide discutir con los alumnos a] final de una clase. Uno tiene una relación que se establece... N - ¿Usted dijó un contacto por intermedio de las matemáticas? F - En ese punto yo dudo un poco, en el fondo no sé muy bien lo que hago soy un profesor, es verdad. Pero en el fondo las matemáticas me sirven para guardar una distancia. Porque yo soy relativamente distante, a pesar de todo. 0 sea, uno discute, pero sin embargo soy bastante serio y no dejo durar mucho el recreo.>>

 

3°) -Tercera modalidad   Mundo de milagro para unos, y mundo de refugio para otros: «Mi posición con relación a las matemáticas varia según mi modo de vida personal. Actualmente, por fuera de mi trabajo, mis entretenciones consisten. más bien en actividades deportivas o manuales, muy pocas actividades intelectuales. Pero a menudo, las matemáticas me han permitido evadirme en otro mundo en caso, de que mi vida afectiva sea insatisfactoria» ROSITA  Y EL AISLAMIENTO EN LAS MATEMÁTICAS «Escuchemos», por ejemplo, a Rosita contar cómo instalo las matemáticas en su vida. Después de aprobar su bachillerato, ella realizó seis o siete años de estudio que la llevaron hasta ser admitida para el examen de agregación para ser profesora. Ella explica muy bien por qué hizo todo eso. <<Rosita- Me gustaban las matemáticas; me gustaban todas las materias. Yo no sabía de ninguna manera a qué me iba a destinar y como en el fondo nadie de mi familia era dotado en matemáticas, ellos se preguntaban de dónde me venía este gusto. De hecho, para mí, ellas fueron un refugio: nadie podía venir allí a molestarme; allí yo estaba tranquila, yo me encerraba en ellas. Decían: Ella está trabajando en matemáticas, dejerla tranquila. Finalmente me encerré en ellas. Verdaderamente.  Nimier - ¿Qué representan las matemáticas para usted? R - Las matemáticas, para mí, son algo bello, algo estético, satisfactorio... algo personal también; es decir que allí, nadie puede venir a interponerse, interferir entre las matemáticas y yo. Creo que es importante, pues así es mi dominio, es bello, me gusta. Mi idea al comienzo era hacer investigación... Pasé horas, días, vacaciones haciendo matemáticas y obtenía ciertamente muchas satisfacciones... Una tiene la impresión de que va a continuar siempre; que nunca se acabará... Es esto lo que me dió un poco de miedo en la vida: creía realizar algo, creía amar a alguien... Lo quería tanto que no me daba cuenta de todo lo que podía haber al lado, y luego cuando menos me lo esperaba, alguna cosa se desplomaba. Varias veces eso se produjo, aunque sólo fuera en el plano de la amistad; Pero sé que esto no se producirá en matemáticas porque allí estoy sola y allí no están sino las matemáticas y yo, eso creo... Siento que en matemáticas, nadie me pude perturbar. N -¿No es cierto?... R - No, no sé. Quizá hay algo que yo no llego a realizar. Quizá sea una fantasía creer que allí nadie puede nada sobre mí... que es suficiente con que yo lo quiera, para resolver un problema de matemáticas.... Es un problema de voluntad, de hecho; quizá no encuentre enseguida, pero sé bien que lo encontraré. Es el único dominio de la vida en el cual tengo confianza en mí. Es quizá esto en el fondo, lo demás es siempre tan... cómo decir?... ¡tan delicado de manejar!>>

4°) - Una ultima modalidad   opone la representación de las matemáticas como un objeto dado, una «verdad» por descubrir, a un objeto concebido como un conjunto de elementos con los cuales se puede «construir», «fabricar» y que empuja a ir «de la diversidad hacia la unidad». En este último caso, esta disciplina no es por tanto presentada como un objeto dado de una vez por todas, sino al contrario como un objeto para construir en permanencia. «Trabajar con claridad, y hacerles adquirir un espíritu lógico a los alumnos». 0 al contrario: «Quiero hacer que el alumno se dé cuenta de que él puede hacer sus propias matemáticas: construir en cada situación un lenguaje y un modelo formal para describir y para actuar» DORA Y EL ÚTIL MATEMÁTICO <<Dora - Las matemáticas para mí, son un Útil, al menos yo me sirvo de ellas como de un útil que me da un cierto placer, y que me parece poder evolucionar y transformarse. Es un poco como la herramienta del jardinero; pero tengo la impresión de que este útil se agranda, ¡es un útil telescópico! Es decir que tiene posibilidades muy grandes y que aún yo no las he explotado todas y que exploto poco a poco. De este útil, me sirvo muy a menudo en mi manera de ver las cosas. Tiene un contenido, formas que han de ser no importa cuales, permite comunicar con otras personas, pero este aspecto comunicación realmente no me gusta tanto. A mí no me gusta mucho hablar con un matemático, cuando de hecho, en tanto que utilizadores del mismo código, deberíamos comprendernos.>>

 

Así, no existe «transmisión de conocimientos» sola, ésta se acompaña siempre de la transmisión de un aspecto imaginario.,.   Otra modalidad que me parece muy importante es la que opone aquellos para quienes las matemáticas son vividas como un objeto interno del individuo, a aquellos para quienes ellas son exteriores al sujeto. ...1°) - Para los primeros, esta disciplina es de alguna manera «una forma de funcionamiento del pensamiento», las matemáticas son vividas como un «juego del espíritu» en el cual se tienen «todos los datos en la mano». En efecto, uno mismo crea las reglas, los axiomas que se desean asegurándose solamente de su no-contradicción. Es en esta representación donde la invención, la axiomática, el rigor del razonamiento tendrán la mayor importancia. La realidad no interviene. Todo ocurre en la cabeza de aquel que hace las matemáticas.  .2°) - Para los profesores del segundo grupo, la realidad, por el contrario, tiene algo que ver con las matemáticas. Ellas les parecen una actividad seria (y no un juego), una actividad que la mayor parte del tiempo está al servicio de las otras ciencias. Ya no se trata de «inventarlas» sino de «descubrirlas» en el contacto con lo real para utilizarlas sobre lo real. He aquí dos pasajes de entrevista que muestran esta oposición de representación: .

«Tengo el sentimiento de iniciación, de misterio, ante el hecho de que ciertos enunciados de conjeturas pueden hacerse en términos tan simples que uno los comprendería en la escuela comunal y que sin embargo los más grandes genios se quiebran los sesos en ellos. Creo que la distancia entre la simplicidad de los enunciados y las dificultades a las cuales uno se enfrenta con algunos de estos problemas, es eso lo que me interesa. Lo que voy a decir, creo que nunca me lo he dicho a mi mismo o muy vagamente: hay algo de sorprendente, de profundo en los mecanismos de nuestra inteligencia; es el funcionamiento de mi pensamiento lo que me gusta tocar. Me gusta tocarme a mí mismo en mi pensamiento, de alguna manera. Creo que es la cosa fundamental para mí» (un matemático). He aquí por el contrario un ejemplo de matemáticas concebidas como actividad: «Me gustaría que mis alumnos fueran capaces de «hacer» matemáticas, es decir que pudieran «hacer funcionar» los conceptos en la práctica, a fin de que una respuesta les sea aportada a la pregunta: ¿eso para qué sirve?»

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