Si existe una rama del conocimiento con la reputación de ser exacta, infalible o perfecta, es ciertamente la matemática. En el lenguaje corriente, cuando queremos subrayar la exactitud de una proposición o de un resultado decimos:

"Con una precisión matemática" .

Cuando nos referimos a propiedades y teoremas nos referimos a la época y los autores que las han descubierto, como si las verdades matemáticas existieran independientemente de los científicos que las hayan encontrado.

Las verdades matemáticas se nos presentan como verdades objetivas, perfectas, inmutables a través de los siglos.

Sin embargo uno puede hacerse la siguiente pregunta :

Si la matemática es creación del ser humano que es falible ¿Puede entonces la matemática ser infalible? ¿Puede un ser falible, crear lo infalible?

¿Cómo un ser imperfecto puede crear objetos perfectos?

Uno podría preguntarse algo quizás equivalente: ¿La matemática es descubierta o inventada?

Si la matemática fuera siempre descubierta podría ser infalible pero si por el contrario es inventada entonces sería lógico esperar que fuera falible.

Leheman (1983), citado por Thompson (1992) identificó dos concepciones alternativa sobre la naturaleza de la matemática que llamó absoluta y falible y que corresponden a dos puntos de vista opuestos en filosofía de la matemática:

Euclídeo y Quasi empírico (Lakatos 1978).

De un punto de vista absoluto toda la matemática está basada sobre fundamentos universales; es el paradigma del conocimiento, desprovisto de valor personal, abstracto y con conexiones de naturaleza platónica con la realidad.

Por el contrario, de un punto de vista falible, se considera que la matemática se desarrolla a través de conjeturas, pruebas y refutaciones y la incertidumbre es aceptada como inherente a la disciplina.

El teorema de Gödel que afirma que en todo sistema axiomático, existen siempre proposiciones indecidibles, es decir proposiciones que no se puede probar ni que son verdaderas ni que son falsas, introduce de este modo formalmente la incertidumbre en la matemática.

Gödel con su teorema parece apoyar esta visión falible de la matemática.

David and Hersh (1986), citado por Cooney, Shealy y Arvold (1998), reivindican la idea que la matemática no es tanto un dominio lleno de certitudes pero más bien una de las vías cruciales donde se construye y se transforma el sentido y a veces también se pierde.

Es interesante analizar cómo esas dos visiones opuestas de la matemática actúan sobre los profesores ya que ellos son los responsables en gran medida de la imagen y la concepción de la matemática que se forman las nuevas generaciones.

Thompson (1988) afirma que dado que los profesores son los mediadores primarios entre la disciplina y el estudiante, es natural inferir que las concepciones de los profesores se comunican a los alumnos a través de las prácticas de clase.

Jacques Nimier (1988), piensa que el profesor de matemática deviene normalmente el representante de la matemática, de donde surge la importancia de suministrar una formación psicológica de los profesores de matemática. Este autor estudia la imagen que los profesores y los estudiantes tienen de la matemática y su influencia decisiva en el aprendizaje de ésta.

Pone en evidencia, mediante encuestas y entrevistas que muy frecuentemente la matemática representa el pensamiento perfecto y el orden.

Es un orden ideal hacia el cual es necesario tender. Sólo en matemática se puede estar seguro de la verdad.

La matemática son el soporte de la proyección narcisista de la infancia y haciendo matemática se tiende hacia ese ideal de reencontrar la perfección paradisíaca. La matemática son el vehículo del pensamiento perfecto que permite alcanzar la verdad partiendo de la diversidad hacia la unidad.

Lakatos (1978) afirma que en el estilo deductivo el resultado final es exaltado y elevado a una infalibilidad sagrada.

Pareciera que el resultado se desprendiera del probablemente largo y zigzagueante proceso que ha conducido al resultado; un proceso que seguramente ha estado lleno de incertidumbre y fallas.

Como Lakatos lo expresa muy claramente " El estilo deductivo esconde la lucha, disimula la aventura, toda la historia desaparece ".

Además, la obtención de un resultado que parece bonito y perfecto no garantiza nada contra una futura mejora de dicho resultado por alguien más. Aunque dicha mejora sea pequeña, igualmente pone en tela de juicio aquella percepción inicial de perfección y de verdad absoluta.

Lakatos afirma también que el estilo deductivo hace caer del cielo las definiciones de una forma artificial y autoritaria.

No tomar en cuenta esa lucha, ese proceso de ensayo y error es una gran y doble omisión : por una parte es ignorar la esencia humana y frágil de la creación y el descubrimiento matemático, más allá del ideal universal de perfección que la matemática representa y por otra parte es ignorar las concepciones de los estudiantes que constituyen los ladrillos para poder construir un conocimiento matemático útil y significativo para cada uno de nuestros alumnos.

Todas las reformas propuestas para la mejora de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática se topa con el mismo obstáculo: las creencias de los profesores.

Nimier (1988) lo expresa claramente diciendo que es necesario acompañar a los docentes en su cambio de actitud.

La aparición de software de geometría dinámica como por ejemplo Cabri, GSP y Cinderella representa una verdadera y profunda revolución para aprender y hacer matemática pero para los profesores que han sido formados sin esa tecnología y han enseñado durante mucho tiempo sin ella, no les es para nada sencillo usar ambientes informáticos y aprovechar de sus ventajas.

Nimier (1988) escribe " No alcanza con poner computadoras en las clases para que sean utilizadas y consecuentemente cambien los métodos de enseñanza "

Nespor (1987) citado por Pajares (1992), afirma que las creencias son en principio inmutables y que cuando cambian no es a causa de un argumento racional pero sino más bien debido a una "conversión gestáltica" . Las creencias personales de los individuos no son necesariamente coherentes al interior de su sistema de creencias.

Harvey (1986), citado por Pajares (1992) define una creencia como una representación que tiene suficiente validez, veracidad y credibilidad para guiar el pensamiento y el comportamiento del individuo.

Para Rokeach (1968), todas las creencias tienen una componente cognitiva que representa el conocimiento, una componente afectiva capaz de suscitar la emoción y una componente de comportamiento que se activa cuando se impone una acción.

Cuando grupos de creencias se organizan alrededor de un objeto o situación, con una predisposición a la acción, dicha organización holística deviene una actitud.

Las creencias varían en intensidad o en poder en función de la dimensión periférica o central que ellas ocupan. Cuanto más central es una creencia, más resistente al cambio es.

Nisbett y Ross (1980) consideran que las experiencias prematuras tienen una gran influencia sobre las consideraciones y juicios ya que constituyen teorías de creencias muy resistentes al cambio.

A causa de este fenómeno, cuanto más temprano se adquiere una creencia y se introduce en el sistema de creencias, más difícil será poder modificarla, ya que las creencias afectan a posteriori las percepciones del individuo e influencian fuertemente el proceso de integración de nueva información.

De esta forma, los individuos conservan creencias basadas en conocimientos incorrectos o incompletos, a pesar de recibir explicaciones correctas y científicas.

Cuando una nueva y conflictiva evidencia aparece, el individuo tiene una tendencia a deformar los datos para poder conservar sus creencias aunque estas ya no constituyan una representación correcta de la realidad.

Esta estructura aparentemente rígida es sin embargo importante para el individuo, para poder comprenderse, comprender a los otros y adaptarse al mundo en que vive. Además los sistemas de creencias reducen en el plano personal y social la disonancia y la confusión.

Posner et al. (1982) utilizan los conceptos de asimilación y d'acomodación de Piaget.La asimilación es el proceso según el cual una nueva información se incorpora a las creencias existentes en una ecología, en tanto que la acomodación tiene lugar cuando una nueva información no puede asimilarse y en consecuencia las creencias deben ser reemplazadas o reorganizadas.

Cuando las creencias metafísicas y epistemológicas son profundas y fuertes, el individuo utilizará probablemente más la asimilación que la acomodación para integrar una nueva información.

Para realizar la acomodación, el individuo debe estar insatisfecho con sus actuales creencias y las nuevas deben presentarse en forma inteligible y coherente con otras concepciones de la ecología.

El proceso de acomodación parece ser, del punto de vista de la psicología cognitiva el proceso necesario para sobrepasar los obstáculos epistemológicos, concepto introducido por Bachellard (1938), retomado y extendido por Brousseau (1986).

Green (1971), citado por Cooney (1998) identifica tres dimensiones o tipos de relaciones entre las creencias de un sistema.

La primera es la existencia de una relación quasi-lógica entre las creencias : ellas pueden ser primarias o derivadas.

La segunda hace referencia a su organización espacial o su fuerza psicológica : pueden ser centrales o periféricas.

La tercera está ligada al hecho que existen en clusters más o menos aislados los unos de los otros y protegidas así de otros clusters de creencias.

Esta características de las creencias no están ligadas al sujeto mismo pero simplemente a la forma en que se retienen.

El aislamiento permite el desarrollo de estructuras de creencia contradictorias, ya que evita la comparación explícita lo que hace que el individuo no perciba la contradicción.

Thompson (1992) afirma que numerosos profesores de liceo transmiten una visión autoritaria y limitada de la matemática y Green (1991) efectúa una distinción entre enseñar y adoctrinar significando por esto último facilitar el conocimiento basado en la autoridad.

Cuando los fundamentos del aprendizaje están basados sobre la no evidencia, aprender se convierte en un proceso de acumulación de información suministrada por la autoridad.

Una visión adoctrinante de la matemática disminuye el impacto de la racionalidad en favor de la memorización.

Esta visión de la matemática se opone a aquella que considera la matemática como un desafío y una aventura del espíritu humano.

Existe por lo tanto una tensión entre una orientación del saber basado en una autoridad externa con creencias no evidentes y una orientación hacia un conocimiento integrado con creencias construidas sobre la evidencia, lo que permite la reflexión y la consideración del contexto.

En una visión autoritaria la asimilación continua siendo posible pero la acomodación se vuelve casi imposible de realizar.

Pareciera que dicha visión favorizara también el aislamiento de las creencias ; en efecto dado que la existencia de las creencias es otorgada por la autoridad y no la razón, ellas no tienen la necesidad de compararse para comprobar su coherencia. Su aislamiento las preserva de descubrir posibles contradicciones.

Es interesante observar como la acomodación Piagetiana aparece (en la investigación sobre las creencias) como el mecanismo capaz de hacer cambiar una creencia, especialmente cuando ella tiene una dimensión central.

De este modo la acomodación parece ser también el instrumento adecuado para sobrepasar los obstáculos epistemológicos y cognitivos que son objeto principal de estudio en La Didáctica Francesa .

Pajares (1992) finaliza afirmando que el constructo teórico sobre las creencias es menos complicado y mucho más limpio y claro de lo que parece.

Cuando las creencias son claramente conceptualizadas, cuando sus hipótesis claves son examinadas, cuando los significados precisos son comprendidos con coherencia y adhesión y cuando las construcciones específicas sobre las creencias son bien evaluadas e investigadas, las creencias pueden ser, como Fenstermacher (1979) lo ha predicho, el más importante marco teórico sobre investigación educativa.

Retomando la pregunta del título, hemos visto que una concepción filosófica de la matemática como infalible y una puesta en escena puramente deductiva, se desemboca por su carácter autoritario, en un adoctrinamiento más que en una educación.

La matemática siendo supuestamente un formidable instrumento para enseñar a los individuos para pensar por ellos mismos, a discernir lo verdadero de lo que no lo es, a encontrar los invariantes escondidos en la diversidad, un instrumento poderoso y valioso en la ejecución de numerosas actividades, corre el riesgo de transformarse para muchos estudiantes en una simple ejecución de interminables algoritmos y cálculos sin ningún sentido personal o la repetición de definiciones y demostraciones que en la mayoría de los casos no han tenido la oportunidad de construir y que tan sólo han podido memorizar.

Es paradójico que esta visión dogmática y autoritaria de la matemática sea contraria a su esencia, a su naturaleza profunda y a su objetivo para la educación que es justamente suscitar en cada estudiante el desarrollo de su racionalidad que puede darse solamente con la producción de significado en cada situación en particular.

Es sin embargo importante hacer una distinción.

Una cosa es considerar la infalibilidad de la matemática como un ideal inspirador, que tiende a la perfección y otra cosa muy diferente es relegar o despreciar las aproximaciones, los ensayos, los errores, los tanteos y las representaciones concretas que son el material falible con el cual la construcción de la matemática se torna posible.

Philipp (2006) reporta que en 2005 una encuesta de Associated Press sondage (AP-AOL.News, 2005) mostró que cerca del 40% de los adultos interrogados han experimentado un claro rechazo hacia la matemática cuando eran estudiantes y si bien han sentido rechazo por otras materias, la tasa de rechazo hacia la matemática era el doble que hacia otras materias.

La presentación de la matemática como una disciplina perfecta y acabada las torna en aburridas e incomprensibles para una parte importante de la población.

Pero hay otras causas para dicha actitud de rechazo constatada por muchos docentes e investigadores.

Nimier (2006) escribe que la matemática es frecuentemente percibida como negativa y peligrosa siendo un medio de selección y fracaso.

La matemática es ampliamente empleada como instrumento de selección y ello conlleva consecuencias nefastas para la disciplina.

En primer lugar, el rol de principal selector es negativo para el sistema educativo y la sociedad. Los resultados en matemática tienden a etiquetar los individuos según su inteligencia aunque es bien sabido que numerosas personas que no han sido exitosas en las matemáticas curriculares han luego sido brillantes en sus actividades profesionales. Recíprocamente, ser exitoso en las matemáticas curriculares no asegura nada ya que en la vida se requiere un conjunto mucho más vasto de competencias y actitudes.

Completamente convencido de la utilidad y del valor formativo de la matemática para todas las personas, se desprende de los antedicho que sería mucho más fructífero y justo efectuar evaluaciones más holísticas, que tengan en cuenta además, otros aspectos de la personalidad del individuo.

Este tipo de evaluaciones tradicionales por ser parciales, terminan siendo erróneas para la sociedad e injustas para el individuo que puede recibir un juicio severo y descalificador basado en información insuficiente.

Y por último afirmo que hacer de la matemática el principal criterio de selección en la educación es empobrecedor para la sociedad y para la matemática misma.

¿Por qué? Como Nimier lo indica, la matemática puede convertirse en un útil peligroso, capaz de generar ansiedad y miedo.

De este modo numerosas personas se alejan de la matemática y recíprocamente la matemática se aleja de numerosas personas.

Por una lado la matemática pierde el aporte de potenciales descubrimientos que muchas personas podrían hacer, particularmente en ramas no tradicionales de la matemática.

Por el otro, una gran cantidad de individuos prescinden de las ventajas que podrían aportarles la matemática en muy diversas y numerosas actividades humanas además de desperdiciarse su valor formativo.

Una persona es libre de querer o no la matemática pero tiene el derecho de experimentar aunque sea un poco la verdadera matemática, esa aventura formidable de descubrimiento y creación del ser humano, ese camino que parte de los objetos más simples y concretos para llevarnos a otros objetos más complejos que súbitamente devienen comprensibles y llenos de una belleza indescriptible.

Esta matemática que inexplicablemente es infalible y falible a la vez ...

Esta matemática, que la queremos infalible pero que al descubrirla falible la queremos aún más.

Montevideo, Uruguay 14 de julio de 2009

 AGRADECIMIENTOS

Quisiera agradecer a la Profesora uruguaya Yoselin Frugoni quien me planteó la cuestión de la falibilidad filosófica de la matemática.

Del mismo modo quiero agradecer a la Doctora Patricia Wilson quien me introdujo en la investigación sobre las creencias de los docentes efectuada recientemente en Estados Unidos y finalmente a mi amigo francés, Informático y Profesor Christophe Foucher que gentilmente ha discutido conmigo este texto contribuyendo a que sea más comprensible.