|
Mathématiques et
Histoire
Un des
premiers rôles qu'on attribue aux
mathématiques est celui de donner une
certaine intelligibilité du monde (cela
commence avec le monde des grandeurs), puis d'en
donner des représentations (c'est le
monde des nombres et des figures). La construction
des nombres est tout à fait
révélatrice de cette vision des
mathématiques : comme le dit Kronecker, "
Dieu a créé les nombres entiers, les
autres sont l'œuvre des hommes ". Cette
construction humaine illustre une valeur
première des mathématiques :
rationaliser le monde pour mieux le
comprendre.
Dans cette
construction des nombres non naturels, il y a deux
niveaux, la construction des nombres " raisonnables
" (rationnels), et la " constatation " qu'il existe
des nombres " non raisonnables " (irrationnels). Il
a fallu des siècles pour que ces derniers
soient reconnus en tant que tels, mais le
problème de leur existence était
déjà posé chez les grecs en
terme de grandeur avec le côté du
carré et sa diagonale. Derrière cette
" constatation " se cache l'essence même des
mathématiques : la démonstration. La
rationalisation du monde par les
mathématiques permet à l'homme
d'avoir une action intellectuelle sur lui. Une des
valeurs essentielle des mathématiques est la
" gestion personnelle et sociale de la
vérité et de la décision
".
Si l'on peut situer
la naissance de ce mode de pensée chez les
grecs, en le liant à un contexte politique
original, la démocratie, c'est à
travers les siècles et les civilisations que
s'est peu à peu constitué un langage
universel, fruit de toutes les pensées
successives d'hommes de cultures très
différentes. Voilà encore une valeur
forte des mathématiques :
l'universalité de sa symbolique et de son
mode de validation de la
vérité.
L'homme a compris
que cette vision idéalisée de la
vérité et de l'exactitude des
mathématiques ne suffirait pas à
comprendre le monde dans lequel il vivait. Il lui a
fallu mathématiser le monde de
l'incertitude, en prenant comme hypothèse
que nous vivons dans un monde probable : la
réponse mathématique est alors de
modéliser mathématiquement les
informations pour en tirer des conclusions "
vraisemblables " et " probables " comme outil
d'aide à la décision. Les
mathématiques nous interrogent alors sur la
pertinence du modèle choisi , sur la
fiabilité des affirmations qu'on peut
produire à partir de cette
modélisation, sur l'interprétation
qu'on peut en tirer : c'est ici une valeur
d'humilité qu'elles
apportent.
Au-delà de
ces mondes des grandeurs, de l'exactitude et de
l'incertitude, l'homme a construit le monde de la "
déraison ", pour reprendre l'expression de
Wigner : " la déraisonnable
efficacité des mathématiques dans les
sciences de la nature ". Ce monde
mathématique va aller à l'encontre de
notre perception première, il va
démolir les évidences. La valeur
essentielle sur laquelle il repose est le courage
intellectuel. C'est l'arrivée des
géométries non euclidiennes, alors
que Legendre essaie encore de " montrer " l'axiome
d'Euclide. C'est Cantor établissant une
bijection entre un segment et un carré et
écrivant à Dedekind : " Je le vois,
mais je ne peux le croire ". C'est la
théorie de l'héliocentrisme, que l'on
n'a jamais expérimenté mais que l'on
sait expliquer, et qui n'empêchera pas
l'homme de continuer encore pendant des
siècles à voir le soleil se lever
à l'Est et se coucher à
l'Ouest.
Les
mathématiques sont donc au regard de
l'histoire un formidable outil intellectuel qu'a
créé l'homme, qu'il a enrichi au fil
des siècles et des civilisations. Nous
avons donc le devoir de transmettre ce patrimoine
de l'humanité. Joseph Fourier
résume bien tout cela en écrivant des
mathématiques qu'elles sont " une
faculté de la raison humaine,
destinée à suppléer à
la brièveté de la vie et à
l'imperfection des sens ".
Mathématiques,
Individu et Société
Dans nos
sociétés de plus en plus
technologiques, les mathématiques sont
omniprésentes, mais souvent de façon
invisible. Nul ne saurait donc contester leur
utilité. Mais comme le dit Jean-Pierre
Kahane dans la préface du Rapport de la
CREM, cette utilité les rend
vulnérables : " Le danger c'est
l'utilitarisme. Il consiste à donner des
recettes au lieu de contribuer à la
formation de l'esprit, à renoncer à
l'universalité des mathématiques,
à les diviser selon la nature actuelle de
leurs applications sans souci des interactions
possibles. "
Cet utilitarisme
est particulièrement perceptible dans les
sections post-bacs non scientifiques. Mais
auparavant, il y a cet enseignement des
mathématiques pour tous. En quoi la
société a-t-elle intérêt
à former mathématiquement tous les
individus qui la composent ?
* Une
première réponse que j'avancerai est
que l'apprentissage des mathématiques est
une forme d'apprentissage de la
démocratie, en mettant les
élèves en " activité
mathématique ". Celle-ci commence en
général par une recherche
personnelle, défi entre le problème
et nous, démarche intellectuelle intime qui
développe et construit notre pensée.
Celle-ci continue dans une communauté
scientifique, la classe dans notre enseignement,
communauté qui permet successivement le
débat en soumettant aux preuves et
réfutations les diverses possibilités
de solutions, puis l'assurance de la certitude
partagée. On retrouve dans cette
démarche la longue histoire qui lie
mathématiques et démocratie depuis
les grecs.
* Une seconde
réponse est liée à la nature
même de l'activité mathématique
: résoudre des problèmes,
c'est-à-dire se mettre dans une constante
confrontation au non savoir. Et là se
développent des comportements " experts ",
avec la recherche de la meilleure stratégie,
du modèle le plus pertinent, comportements
tout à fait transférables à
d'autres champs d'action que les
mathématiques. Et parmi tous ces
comportements experts, l'un est vraiment une
attitude spécifique des mathématiques
que développe la résolution de
problèmes: apprendre à "
sécher ".
* Une
troisième réponse, souvent
cataloguée " mathématiques du citoyen
", est la formation à l'analyse et au
traitement de l'information. Les
mathématiques vont développer des
aptitudes à trier, ranger, transformer
des informations en s'appuyant sur de
fréquents changements de registre : texte,
tableau, graphique, résultat
numérique… On trouve ici le rôle
social des mathématiques : la lecture,
l'interprétation, l'utilisation de
diagrammes, tableaux, graphiques, leur analyse
critique aident l'élève à
mieux comprendre les informations qu'il
reçoit, et en cela contribuent à son
éducation civique.
Le Conseil de
l'Education des Etats Unis a fait paraître en
2001 un livre " Mathematics and democracy ".
L'idée générale de la
recherche qui a conduit à cette publication
est que la méconnaissance complète
des mathématiques, et en particulier du
traitement de l'information, que les
Américains appellent " innumeracy " rend les
citoyens infirmes au même titre que
l'analphabétisme, l'illiteracy. Inversement,
un apprentissage du calcul, de la
géométrie, de la statistique et des
probabilités constitue un bon atout pour se
situer dans le présent et saisir les enjeux
de l'avenir.
Donner des
outils, initier au débat scientifique,
développer des comportements experts,
apprendre à maîtriser l'information,
voilà des valeurs profondes qui devraient
être celles d'un enseignement de
mathématiques pour tous. Mais elles se
heurtent à des valeurs de la
société actuelle. Je vais illustrer
cela sur deux points.
Beaucoup
d'élèves sont des " consommateurs "
et se situent dans un rapport presque exclusif
à la réussite. Le savoir pour
beaucoup d'entre eux n'est pas une valeur, mais une
marchandise qui a un double prix : l'utilité
et la réussite (à quoi
çà sert ? est-ce qu'il y en aura au
prochain contrôle ?)
Une des
caractéristiques de l'activité
mathématique telle que je la décris
ci-dessus est qu'elle se situe dans la
durée. On trouve ici un profond hiatus entre
des valeurs dominantes de la société,
basées sur le " rapide " et le " volatile
", et celles des mathématiques
basées sur le " lent " et le " durable
".
|
Un
souhait (peut-être n'est-ce qu'un
rêve ?) est que l'enseignement des
mathématiques puisse offrir un
modèle de construction du savoir
dans le temps et une habitude de
mobilisation intellectuelle la plus
complète dans la recherche de
problèmes face à une
société où l'instant
prime la durée et où
l'effort doit immédiatement
être
rentabilisé.
|
Mathématiques
et Enseignement
Si dans un
groupe d'adultes, on découvre que vous
êtes enseignant de mathématiques, deux
attitudes opposées scinderont
l'assemblée. Ceux qui vous renverront une
image définitivement négative des
mathématiques : " Je n'aimais pas ça
" en ajoutant " j'étais nul " comme si vous
alliez encore les interroger. Ceux qui au contraire
vous diront: " J'aimais ça " en
précisant " j'avais de bonnes notes " comme
une espèce de connivence avec vous.
Aucune autre matière ne renvoie une image
aussi affective : un profond ressentiment
associé à l'échec, une grande
affection associée à la
réussite. Et la question " Pourquoi les
mathématiques ? " renvoie
systématiquement à ce temps heureux
ou malheureux de l'enseignement, et très
rarement à un essai d'analyse de ce qu'elles
ont pu apporter dans la vie personnelle ou
professionnelle.
La
démocratisation de l'enseignement a remis en
cause bon nombre de certitudes, entre autres sur le
statut des mathématiques, de leur
enseignement et du rôle pervers de
sélection qu'elles ont joué. Pour
illustrer ce rôle, Jean Dhombres
considère que les mathématiques
représentent l'inévitable, et
décline cet inévitable en trois
points :
Ø
Inévitable intellectuel : les
mathématiques vont cautionner un discours,
une prise de position intellectuelle ; la lourdeur
des références mathématiques
en sociologie illustre cet
inévitable.
Ø
Inévitable scolaire : les
mathématiques vont permettre de compter
parmi les meilleurs ; les mathématiques
obligatoires lors de la première
année de médecine illustrent ce
deuxième inévitable.
Ø
Inévitable social : savoir calculer
est pris symboliquement au sens de savoir assurer
sa carrière ; les mathématiques dans
les écoles commerciales jouent de ce double
sens de l'inévitable social.
Au-delà
de cette vision " sélective " des
mathématiques, de l'inévitable
qu'elle représente dans l'enseignement,
comment donner une ou plutôt des valeurs
à cet enseignement ? La réponse
est à la fois uniforme, rejoignant ce que
j'ai développé ci-dessus sur la place
des mathématiques et de leur enseignement
dans la société, et à la fois
multiforme au niveau de l'expression, fortement
connotée par le passé
mathématique de chacun d'entre nous.
C'est pourquoi pour ouvrir encore la
réflexion, je vous propose les points de vue
de quatre membres du comité scientifique des
IREM que vous trouverez beaucoup plus
développés à côté
d'autres points de vue tout aussi riches dans le
numéro 38 de Repères-IREM.
* Tout
d'abord Guy Brousseau pour qui une des
finalités premières de l'enseignement
des mathématiques est le
développement de la personnalité
rationnelle de l'élève et
l'apprentissage des comportements sociaux relatifs
à l'établissement de la
vérité.
* Ensuite
Régine Douady pour qui les
mathématiques sont un lieu où il est
possible de mettre les élèves en
situation d'avoir à faire des
prévisions, de les tester, et d'obtenir des
réponses pour lesquelles finalement les
démonstrations apportent la
certitude, et qu'ainsi leur apprentissage
contribue : A
la compréhension mutuelle;
A la communication
sociale; A la
prise de responsabilité
* Raymond
Duval dit ce qu'est pour lui l'activité
mathématique : " une certaine
expérience qui fait que je ne regarde plus
les choses comme avant, que je sens ma
pensée devenue un peu plus puissante
et un peu plus libre, même à
l'égard des mathématiques, de leurs
contenus, de leurs modèles, de leurs
structures ".
* Enfin
Gérard Kuntz décline les trois
priorités que l'enseignement des
mathématiques doit proposer aux jeunes qui
lui sont confiés : Formation de la personne
: comprendre le monde pour mieux se comprendre;
Formation du futur acteur économique :
préparer l'entrée dans le monde du
travail ; Formation du futur citoyen.
Mathématiques
et Enseignants
Je suis
actuellement formateur en IUFM et je n'ai plus de
classe en charge ; mon seul contact à la
réalité de l'enseignement est
à travers les visites de stagiaires ou les
échanges que j'ai avec des collègues
actuellement en poste. Je sais qu'un certain
nombre d'entre eux souffrent dans leur
métier d'enseignant, en particulier par
la difficulté à mobiliser les
élèves, les intéresser, les
rendre attentifs, les impliquer dans une
activité, les stimuler pour mémoriser
un certain nombre de résultats
essentiels…Et je comprends que leur
réaction à mes propos puisse
être : "c'est bien beau tout ça,
mais un peu idyllique, et en tout cas bien loin de
la réalité". C'est pourquoi je me
permets de m'impliquer plus personnellement pour
éclairer de façon plus
concrète sur quelques points cette
idée de valeurs des mathématiques
à laquelle je suis
attaché.
J'ai longtemps
été enseignant dans un collège
de ZUP, classé ZEP, et les classes que
j'avais comprenaient des élèves
d'origine et de culture multiples. Un certain
nombre d'entre eux étaient d'origine
maghrébine, et lorsque, à propos de
la résolution d'équations, je leur
parlais d'Al Khwarizmi, et de manière plus
générale de l'apport du monde
arabe à la construction des
mathématiques que nous utilisons
aujourd'hui, je voyais ces élèves se
passionner, " re "devenir " fiers " de leur
passé et de leur culture. Et ils se
lançaient avec passion sur des
activités comme la résolution d'une
équation du second degré " à
la Al Khwarizmi " via les aires et Euclide.
De même,
j'ai toujours vu mes classes se passionner pour des
activités de type Rallye ",
développer cette communauté
scientifique dont je parlais plus haut pour
résoudre le maximum de problèmes, se
mettre d'accord par le débat sur des
solutions (parfois fausses !). Ce type
d'activité est souvent dénommé
" faire des mathématiques autrement ", alors
que c'est l'essence même de la
démarche mathématique. Le
problème est de l'intégrer de
façon régulière aussi bien
d'un point de vue didactique (démarche
heuristique, construction de connaissances,
institutionnalisation de certaines d'entre elles),
pédagogique (formes de travail et
d'interaction développées dans la
classe) qu'institutionnel (adéquation avec
les programmes aussi bien en terme de contenu que
de d'horaire disponible).
En tant que
formateur à l'IUFM, la
référence aux idées que j'ai
développées plus haut m'a souvent
guidé pour comprendre les professeurs
stagiaires, les difficultés qu'ils pouvaient
rencontrer dans cet enseignement des
mathématiques, et ainsi trouver des
pistes de formation auxquelles ils adhèrent
et qui leur permettent de se construire (voire de
se reconstruire) leur relation aux
mathématiques et à leur enseignement.
- Ceci est
particulièrement sensible avec les futurs
professeurs des écoles : un certain
nombre font partie de ces " rejetés des
mathématiques " dont je parlais ; leur
regard sur les mathématiques, et surtout sur
eux par rapport aux mathématiques est
particulièrement négatif. Et
pourtant, ils vont avoir à les enseigner, et
de façon importante au regard des contenus
et des horaires de l'école primaire.
Quelle première nécessité
de formation, sinon de leur redonner un regard plus
positif sur cette discipline : en effet,
tout élève est aussi sensible au
rapport qu'a l'enseignant avec l'objet
d'apprentissage qu'à cet objet
lui-même. Et ce changement de regard
passe souvent par une reconquête du sens. Et
là, une approche
épistémologique et historique de la
construction des nombres et des opérations,
une réflexion sur formes et grandeurs, un
éclairage sur la place des
mathématiques dans l'aide à la
gestion du quotidien et à la formation de
l'individu, l'interaction des mathématiques
avec les autres disciplines (dimension
particulièrement importante dans le cadre de
la polyvalence des professeurs des écoles)
sont autant de vecteurs qui permettront d'amener le
futur stagiaire à construire un enseignement
porteur de sens.
- Pour les
professeurs stagiaires de mathématiques,
il n'est pas nécessaire de les persuader de
l'importance des mathématiques et de leur
enseignement ! Mais cette spécialisation
à haut niveau est aussi un handicap à
la transformation d'un savoir savant en un savoir
enseigné. Pour eux, la
légitimité des mathématiques
est naturelle. Le fait qu'ils aient construit une
logique interne à l'édification des
mathématiques les rend moins ouverts
à une approche plus externe s'appuyant sur
des problèmes issus de la "
réalité " : cela est
particulièrement sensible lorsque l'on
aborde une réflexion en profondeur sur les
statistiques. Pour beaucoup d'entre eux, ils n'ont
que très peu de connaissances sur l'histoire
de leur discipline (où, pourquoi et comment
s'est posé tel problème), sur son
articulation avec les autres disciplines et son
utilisation par ces dernières. Et il faut
aussi prendre en compte leur vision de
l'enseignement des mathématiques qui est
souvent à l'image de celui qu'ils ont suivi
(avec succès) et qui ne les amène pas
naturellement à une réflexion sur
l'entrée dans les concepts par
l'activité plutôt que par le
discours.
J'avais
été particulièrement sensible
à la conclusion de Philippe Lombard dans son
article " Figures et géométrie : la
tentation du sens ?.. " citant Wagner : " Là
où le maître échoue, que peut
faire l'élève ? …s'il a toujours
obéi !… ". Reprenant cette idée,
la meilleure formation que l'on puisse donner ne
serait-elle pas celle qui conduirait tout
enseignant à se poser la question : les
mathématiques ne sont elles pas un des rares
lieux de l'enseignement où
l'élève peut parfois dépasser
le maître ? Encore faut-il que celui-ci l'y
ait autorisé !
|
