S'il
y a une branche de la connaissance qui
a la réputation d'être
exacte, infaillible ou parfaite, il
s'agit certainement des
mathématiques.
Dans le langage
courrant, quand on veut souligner l´exactitude
d´une proposition ou d'un résultat on
dit souvent : "Avec une précision
mathématique''.
A propos des
propriétés et des
théorèmes, on cite
généralement les noms de ceux qui les
ont découverts ainsi que les époques,
comme si les vérités
mathématiques existaient
indépendamment des mathématiciens qui
les ont trouvées.
Les
vérités mathématiques
apparaissent comme des vérités
objectives, parfaites, immuables à travers
les siècles.
Mais
on peut aussi se poser la question
suivante : Si les mathématiques
sont créées par
l´être humain qui est
faillible, sont-elles alors
réellement
infaillibles?
Comment un être
imparfait peut créer des objets parfaits
?
On peut aussi
se poser une question peut-être
équivalente à celle du titre : Les
maths sont-elles découvertes ou
inventées ?
Si
les maths étaient toujours
découvertes elles pourraient
être infaillibles mais si au
contraire elles sont inventées
alors on peut s'attendre à ce
qu´elles soient
faillibles.
Leheman (1983),
cité par Thompson (1992) a identifié
deux conceptions alternatives sur la nature des
mathématiques qu'il a appelées
absolutiste et faillibiliste et qui correspondent
à deux points de vue concurrents en
philosophie des mathématiques : Euclidien et
quasi empirique (Lakatos 1978).
D´un point
de vue absolutiste toute la mathématique
est basée sur des fondements universels,
c´est le paradigme de la connaissance qui est
absolue, dépourvue de valeur personnelle,
abstraite et avec des connexions de nature
platonicienne avec la
réalité.
Par contre,
d´un point de vue faillibiliste, on
considère que les mathématiques se
développent à travers des
conjectures, preuves et réfutations et
l´incertitude est acceptée comme
inhérente à la discipline.
Le
théoreme de Gödel qui affirme que
dans tout système axiomatique il y a
toujours des propositions qui sont
indécidables, c´est-à-dire pour
lesquelles on ne peut prouver qu´elles sont
vraies ni qu´elles sont fausses, introduit
ainsi d´une façon formelle la notion
d´incertitude dans les maths.
Gödel avec son
théorème semble soutenir l'approche
faillibiliste des maths.
Davis and Hersh
(1986), cité par Cooney, Shealy and Arvold
(1998), revendiquent l'idée que les
mathématiques sont moins un domaine rempli
de certitudes qu'un domaine qui construit du sens ;
c´est-à-dire que les maths sont une des
voies cruciales où le sens est
transformé et parfois perdu.
Il
est intéressant d'analyser
comment ces deux visions
opposées des maths agissent sur
les professeurs car elles sont
responsables en grande partie de
l´image et des conceptions des
mathématiques que se forment les
nouvelles
générations.
Thompson (1988)
affirme que lorsque les professeurs sont les
médiateurs primaires entre la matière
et l´étudiant, il est naturel
d´inférer que les conceptions des
professeurs sont communiquées aux
élèves à travers les pratiques
en classe.
Bernardo
pense que le professeur de mathématiques
peut devenir le représentant des
mathématiques, d´où
l´importance que pourrait revêtir une
formation psychologique des profs de maths. Il
étudie l´image que les professeurs et
les élèves ont des maths.
Il met en
évidence à travers des enquêtes
et des entretiens que très souvent les
mathématiques représentent
la
pensée parfaite et
l´ordre.
C´est un ordre idéal vers lequel il
faut tendre. Il n´y a qu´en
mathématiques que je puisse être
sûr de la vérité.
Les
mathématiques sont le support de la
projection du narcissisme de l´enfance, et en
faisant des mathématiques on vise à
tendre vers cet idéal pour retrouver cette
perfection paradisiaque.
Les maths
véhiculent l'image d'une pensée
parfaite qui permet d´atteindre la
vérité en allant de la
diversité à
l´unité.
Le style
déductiviste
Lakatos (1978)
affirme que dans le style déductiviste le
résultat final en mathématiques est
exalté et élevé à une
infaillibilité sacrée.
On semble
détacher le résultat du
vraisemblablement long et zigzaguant processus qui
a conduit au résultat ; un processus qui
tout probablement a été plein
d'incertitudes et de failles.
Comme Lakatos
l´exprime très clairement " Le style
déductiviste cache la lutte, dissimule
l´aventure. L´histoire toute
entière disparaît ".
De plus,
l'obtention d'un résultat que l'on trouve
beau et parfait ne garantie en rien contre une
future amélioration de ce résultat
par autrui, aussi minime soit-elle, mais qui
viendra remettre en cause la perception initiale de
perfection et de vérité
absolue.
Lakatos affirme
aussi que le style déductiviste fait tomber
du ciel les définitions d´une
façon artificielle et
autoritaire.
Ne
pas prendre en compte cette lutte, ce
procesus d´essais et erreurs,
c´est une grande et double omission :
d´une part c´est ignorer
l´essence humaine et fragile de la
création et de la découverte
mathématique au delà de cet
idéal collectif et universel de
perfection et d´autre part, c'est
ignorer que les conceptions de chaque
élève sont les briques avec
lesquelles on peut construire une
connaissance mathématique utile et
pleine de sens pour chacun de nos
étudiants.
Les difficultés
des changements pédagogiques
Toutes les
réformes proposées pour
l´amélioration de l´enseignement
et l'apprentissage des mathématiques
rencontrent le même obstacle : les croyances
des professeurs.
Nimier
(1988)
l´exprime clairement en disant qu´il est
nécessaire d´accompagner les
enseignants dans leur changement
d´attitude.
L´apparition
des logiciels de géometrie
dynamique
tels que Cabri, GSP et Cinderella représente
une vraie et profonde révolution pour
apprendre et faire des mathématiques, mais
pour les professeurs qui ont été
formés sans cette technologie et ont
enseigné longtemps ainsi, il n'est pas
évident de les faire utiliser ces
environnements informatiques pour tirer profit de
leurs grandes possibilités.
Nimier
(1988)
écrit " Il ne suffit pas de mettre des
ordinateurs dans les classes pour qu´ils
soient utilisés et à fortiori pour
qu´ils changent les méthodes
d´enseignement "
Nespor (1987)
cité par Pajares (1992), affirme que les
croyances sont en principe inchangeables et que
lorsqu'elles changent ce n´est pas suite
à un argument de la raison mais plutôt
à une " conversion gestaltique ". Les
croyances personnelles des individus n´ont pas
besoin d´être cohérentes à
l´intérieur de leur système de
croyances.
Harvey (1986),
cité par Pajares (1992) a défini une
croyance comme une
représentation
qui a assez de validité, de
vérité et de
crédibilité pour guider la
pensée et le comportement de
l´individu.
Pour Rokeach
(1968), toutes les croyances ont une composante
cognitive qui représente la connaissance,
une composante affective capable de susciter
l´émotion et une composante de
comportement qui s´active quand une action
s´impose.
Quand des groupes
de croyances s´organisent autour d´un
objet ou une situation, avec une
prédisposition pour l´action, cette
organisation holistique devient une
attitude.
Les croyances
varient en intensité ou en pouvoir en
fonction de la dimension périphérique
ou centrale qu´elles occupent. Plus la
position d´une croyance est centrale, plus
elle résiste au changement.
Nisbett and Ross
(1980) considèrent que des
expériences prématurées ont
une forte influence sur les jugements finals en
devenant des théories ou des croyances
très résistantes au
changement.
A cause de ce
phénomène, plus tôt une
croyance est acquise et introduite dans le
système de croyances, plus difficile il sera
de la modifier, car ces croyances affectent par la
suite la perception et influencent fortement le
processus d'intégration de nouvelles
informations.
Ainsi,
les individus conservent des croyances
basées sur des connaissances
incorrectes ou incomplètes
malgré le fait de recevoir des
explications correctes et
scientifiques.
Quand
une évidence nouvelle et
conflictuelle apparaît,
l´individu a tendance à
déformer les données pour
conserver ses croyances, même si
elles ne constituent plus une
représentation correcte de la
réalité.
Cette structure
apparemment rigide est pourtant importante pour
l´individu, pour se comprendre, comprendre les
autres et s´adapter au monde dans lequel il
vit. De plus, les systèmes de croyances
réduisent, sur le plan personnel et le plan
social, la dissonance et la confusion.
Processus de
fonctionnement des croyances
Assimilation et accomodation
Posner et al.
(1982) utilisent les concepts d´assimilation
et d'accommodation de Piaget.
L'assimilation
est le processus selon lequel une information
nouvelle s´incorpore aux croyances existantes
dans l´écologie, tandis que
l´accomodation a lieu quand une
nouvelle information ne peut pas s´assimiler
et que les croyances doivent être
remplacées ou
réorganisées.
Quand les croyances
métaphysiques et
épistémologiques sont profondes et
fortes, l´individu utilisera probablement plus
l´assimilation que l´accommodation pour
l'intégration de la nouvelle
information.
Pour
réaliser l´accommodation,
l´individu doit être insatisfait avec
des croyances existantes et les nouvelles croyances
doivent apparaître intelligibles et
cohérentes avec d´autres conceptions de
l´écologie.
Le procesus
d´accommodation semble être, du point de
vue de la psychologie cognitive, le processus
nécessaire pour surmonter les obstacles
épistémologiques, concept introduit
par Bachellard (1938), repris et étendu par
Brousseau (1986).
Type de relation entre croyance
Green (1971),
cité par Cooney (1998) identifie trois
dimensions ou types de relations parmi les
croyances d´un système.
La
première est qu´il existe une
relation quasi-logique parmi les croyances : elles
peuvent être primaires ou
dérivées.
La
deuxième porte sur leur organisation
spatiale ou leur force psychologique : elles
peuvent être centrales ou
périphériques.
La
troisième est liée au fait
qu´elles existent en groupes plus ou moins
isolés les uns des autres et de ce fait
protégées des autres ensembles de
croyances.
Les
caractéristiques de ces croyances ne sont
pas liées au sujet même des croyances
mais seulement à la façon dont on les
retient.
L´isolation
permet le développement de
structures de croyances contradictoires,
car ces dernières ne sont pas
comparées de façon
explicite.
Diverses visions des
mathématiques
Thompson (1992)
affirme que nombreux enseignants du lycée
transmettent une vision autoritaire et
limitée des mathématiques et
Green (1991) fait la distinction entre enseigner
et endoctriner, ce qui signifie pour lui,
faciliter la connaissance basée sur
l´autorité.
Quand les
fondements de l´apprentissage sont
basés sur la non évidence, apprendre
devient un procesus d´accumulation
d´informations, fournies par une
autorité.
Une vision
endoctrinée des mathématiques diminue
l´impact de la rationalité pour
favoriser la mémorisation. Cette vision des
mathématiques s'oppose à celle qui
considère les mathématiques comme un
défi et une aventure de l'esprit
humain.
Il existe donc une
certaine tension entre une orientation vers un
savoir basé sur une autorité externe
avec croyances non évidentes et une autre
orientation vers un savoir intégré
avec des croyances construites sur
l´évidence, ce que permet la
réflexion et la prise en compte du
contexte. Dans
une vision autoritaire, l´assimilation
continue à être possible mais
l´accommodation se trouve très
difficile à faire.
Il semble aussi que
cette vision favorise l´isolation des
croyances car ayant une existence donnée par
l´autorité et non par la raison, elles
n´ont pas besoin d´être
comparées pour vérifier leur
cohérence. Leur isolation les
préserve de la découverte de
contradictions probables.
Il est
intéressant d'observer comment
l´accommodation Piagétienne
(dans la recherche sur les croyances)
apparaît comme le mécanisme capable de
changer une croyance, spécialement quand
elle a une dimension centrale, et ainsi le
mécanisme d´accommodation semble
être l´outil convenable pour surmonter
les obstacles épistémologiques et
cognitifs dont il est question dans La Didactique
Francaise.
Pajares (1992)
finit en affirmant que le cadre théorique
sur les croyances est moins compliqué,
beaucoup plus propre et clair qu´il n'y
paraît. Quand les croyances sont clairement
conceptualisées, quand leurs
hypothèses clés sont
examinées, quand les sens précis sont
compris avec consistance et adhésion et
quand les constructions spécifiques sur les
croyances sont bien évaluées et
investiguées, les croyances peuvent
être, comme Fenstermacher (1979) l'a
prédit, le plus important cadre
théorique sur la recherche en
éducation.
En
reprenant la question du titre on a vu
qu'une conception philosophique des
mathématiques comme infaillibles,
mise en œuvre avec un style purement
déductiviste, débouche par
son caractère autoritaire,
plutôt sur l'endoctrinement que sur
l'éducation.
Les
mathématiques supposées être un
formidable outil pour apprendre aux individus
à penser par eux-mêmes, à
discerner la vérité de ce qui ne
l´est le pas, à trouver les invariants
derrière la diversité, en fait un
instrument performant pouvant être mis en
œuvre dans de nombreuses activités,
risque de se transfomer pour beaucoup
d'étudiants en une simple exécution
d'interminables algorithmes et calculs sans aucune
signification personnelle, ou en la
répétition de définitions et
de démonstrations qu'ils n´ont pas
toujours eu la possibilité de construire, la
seule voie restante pour les apprendre ayant
été la
mémorisation.
Il est
paradoxal que cette vision dogmatique et
autoritaire des mathématiques soit contraire
à son essence, à sa nature profonde
et à son but pour l´éducation
qui est justement de susciter chez chaque apprenant
le développement de sa rationalité,
qui peut seulement se développer par la mise
en situation et la production de sens.
Le rejet des
mathématiques
Il faut pourtant
faire une distinction.
Malgré le
fait de considérer
l´infaillibilité et la perfection des
mathématiques à la limite, comme un
idéal inspirateur , on ne peut jamais
négliger ni mépriser les
approximations, les essais, les erreurs, les
tâtonnements et les représentations
concrètes qui sont les matériaux
faillibles avec lesquels la construction des
mathématiques devient possible.
Philipp (2006)
rapporte qu'en 2005 the Associated Press sondage
(AP-AOL.News, 2005) a montré que presque 40%
des adultes interrogés ont ressenti de la
haine envers les maths quand ils étaient
étudiants, et bien que ces adultes avaient
également éprouvé de la haine
pour d´autres matières, le taux de
haine ressenti à l'égard des maths
était le double de celui ressenti envers les
autres matières.
La
présentation des mathématiques comme
une discipline parfaite et achevée les rend
ennuyeuses ou incompréhensibles pour une
part importante de la population.
Mais il y a encore
d'autres causes à cette attitude de rejet
constatée par plusieurs enseignants et
chercheurs.
Les maths sélectives
Nimier
(2006)
écrit que les mathématiques sont
souvent perçues comme négatives et
dangereuses, moyen de sélection et source
d´échec. Les
mathématiques sont largement
employées comme
instrument de
sélection
et cela n'est pas sans conséquences plus ou
moins graves.
D´abord,
comme instrument de sélection, il peut
s'avérer peu intéressant pour le
système éducatif et la
société. Les résultats des
évaluations en mathématiques tendent
à étiqueter les individus selon leur
intelligence alors que nombreux sont les exemples
de personnes qui n´ont pas réussi
à l'école en mathématiques et
qui ont été ensuite brillants dans
leurs activités professionnelles.
Inversement, être à l'aise avec les
mathématiques n´a jamais
été l'assurance d'une vie
réussie, trop de facteurs entrant en ligne
de compte par ailleurs.
Bien que convaincu
de l´utilité et de la valeur formatrice
des maths pour la plupart des personnes, il semble
qu'en ce qui concerne les évaluations
sélectives, il vaudrait mieux faire des
évaluations plus holistiques, qui prennent
en compte d'autres aspects de la
personnalité de l´individu.
Ces types
d'évaluations traditionnelles et partielles
sont peu valorisant pour l´individu qui peut
trouver le résultat injuste et
sévère, car basé sur des
données insuffisantes.
Finalement
on pourrait dire que faire des
mathématiques le principal
critère de sélection dans
l'éducation est appauvrissant pour
la société et pour les
mathématiques
elles-mêmes.
Les maths
anxiogènes
En effet, comme
Nimier l'enseigne, les maths peuvent devenir un
outil dangereux, capable de générer
anxiété et peur.
Ainsi, beaucoup de
personnes s´éloignent des
mathématiques et inversement les
mathématiques s´éloignent de
beaucoup de personnes.
D´une part les
mathématiques ne s'enrichissent pas des
découvertes potentielles que de nombreuses
personnes pourraient faire, particulièrement
dans des branches non traditionnelles des maths.
D´autre part, beaucoup d'individus se privent
des avantages que pourraient leur apporter les
maths dans bon nombre d'activités humaines.
Bien que l'on soit
libre d'aimer ou non les mathématiques, tout
le monde devrait cependant pouvoir
expérimenter un tant soit peu la vraie
démarche mathématique, cette aventure
formidable pleine de découvertes et de
créations de l'esprit humain qui, à
partir de concepts simples et concrets peut nous
mener à des objets Ô combien
complexes, mais qui apparaissent soudain
compréhensibles et emplis d'une
beauté indicible.
Ces
mathématiques, qui
inexplicablement sont infaillibles et
faillibles à la
fois…
Ces
mathématiques, on les veut
infaillibles, mais en découvrant
qu'elles sont faillibles, alors on les
aime encore plus.
Montevideo,
Uruguay le 14 Juillet 2009
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REMERCIEMENTS
Je
veux merecier la Professeur uruguayenne
Yoselin Frugoni qui m'a posé la
question philosophique de la
faillibilité des
mathématiques.
Aussi je
voudrais remercier la Professeur Patricia
Wilson qui m´a introduit a la
recherche sur les croyances fait aux Etats
Unids et finalement a mon ami
français Christophe Foucher qui a
tout gentilment voulu corriger et
améliorer le français de
l´article pour le rendre plus
compréhensible.
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